Que é proposição

Um conceito fundamental para entender a lógica matemática é o significado de uma proposição. A primeira coisa que o concurseiro precisa saber é distinguir se uma sentença é ou não uma proposição. Isso mesmo, sentença não é a mesma coisa que proposição. Por quê? Vamos entender isso.

Em linhas gerais, define-se uma proposição com a seguinte frase:

Uma proposição simples é uma sentença declarativa que pode somente ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas nunca como verdadeira e falsa simultaneamente.

Dois pontos devem ser destacados na frase acima. Antes mesmo de julgá-la como verdadeira ou falsa, você deve reconhecer que uma proposição tem somente dois valores lógicos, V ou F, e nenhum outro valor. Não há, por exemplo, um terceiro valor lógico "meio verdadeiro, meio falso". E não pára por aqui! Também não é permitido que uma proposição seja considerada verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Agora, veja a questão da banca Cespe abaixo.

SEBRAE - 2008 - UnB/CESPE

Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente.
Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

Resposta comentada

Errado, pois toda proposição pode assumir somente dois valores lógicos (V ou F).

Os dois pontos destacados acima são os dois princípios - ou axiomas - da lógica matemática. Será uma proposição uma sentença que respeite as "regras do jogo", que são:

• Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, há de ser um desses casos e nunca um terceiro caso;
• Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

É possível saber se uma sentença é ou não uma proposição conhecendo os dois princípios acima, mesmo que você não saiba responder se a proposição é V ou F. Por exemplo, a sentença declarativa abaixo é uma proposição?

Pelé marcou mil gols em 1969.

Sim, é uma proposição. Se 1969 foi o ano em que Pelé atingiu a marca de mil gols, a frase acima é V. E se foi em qualquer outro ano, a frase é F. Como não há outra maneira de julgar a frase acima, não há violação do Princípio do Terceiro Excluído. E como também não pode ser ao mesmo tempo verdadeiro e falso que "Pelé marcou mil gols em 1969", o Princípio da Não-Contradição não é violado.

A partir da análise feita acima, chegamos a conclusão de que a sentença "Pelé marcou mil gols em 1969" é de fato uma proposição. Já que é uma proposição, é verdadeira ou falsa essa proposição? Ora, o valor lógico de qualquer proposição sempre pode ser verificado - em arquivos, documentos, jornais, revistas, vídeos etc. A proposição "Pelé marcou mil gols em 1969" é verdadeira, conforme mostra, por exemplo, a notícia do JB.

Que não é proposição

E quais são as sentenças que não são proposições? Vamos conhecê-las.

Uma sentença aberta não é considerada proposição, pois não é possível julgá-la como verdadeira nem como falsa. Considere a sentença:

Ele marcou mais de mil gols.

É impossível dizer se essa sentença é verdadeira ou falsa sem saber quem é a variável "Ele''. Uma forma de se passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. Se "Ele = Pelé'', então a proposição "Pelé marcou mais de mil gols'' é V, enquanto que se "Ele = Maradona'', a mesma proposição é F.

E como poderá aparecer em uma prova? Leia o texto em destaque abaixo.

TJ/CE - 2008 - UnB/CESPE

Julgue o item que se segue.
A frase "No ano de 2007, o índice de criminalidade da cidade caiu pela metade em relação ao ano de 2006" é uma sentença aberta.

Resposta comentada

Certo. Não se sabe em qual cidade ocorreu a queda nos índices de criminalidade. Note que esse item quer apenas saber se a frase é uma sentença aberta. Se, por exemplo, cidade = Rio de Janeiro, a frase se tornaria uma proposição, já que poderia ser verificado com dados divulgados nos jornais, nas revistas ou pela secretaria de segurança daquele Estado, se de fato ocorreu a queda nos índices de criminalidade entre os anos de 2006 e 2007.

As sentenças interrogativas, imperativas e exclamativas não são proposições porque não podem ser julgadas nem como verdadeiras nem como falsas. Exemplos: (i) a frase interrogativa "Pelé marcou mais de mil gols?'' não é uma proposição; (ii) a frase exclamativa "Pelé marcou mais de mil gols!'' também não é uma proposição; (iii) a frase imperativa "Pelé, marque mais de mil gols'' também não deve ser considerada como uma proposição.

A partir do que foi discutido no parágrafo acima, fica fácil resolver a seguinte questão:

TJ/CE - 2008 - UnB/CESPE

Julgue o item que se segue.
A frase "O triplo de quatro é menor do que dez?" é uma proposição falsa.

Resposta comentada

A frase acima é uma sentença interrogativa, e portanto, não é uma proposição. Uma proposição falsa seria a sentença declarativa "O triplo de quatro é menor do que dez", uma vez que 3 × 4 = 12 > 10.

Uma sentença auto-referente é aquela em que não é possível atribuir um valor verdade porque essa se refere ao seu próprio valor verdade. Por esta razão, uma sentença auto-referente não é uma proposição.

Um exemplo de sentença auto-referente é o paradoxo de Liar:

Esta sentença é falsa.

Para essa sentença há duas opções: admitindo que a sentença seja verdadeira, então, chega-se ao resultado de que a sentença é falsa (é o que a sentença declara!). Por outro lado, admitindo que a sentença seja falsa, então, chega-se ao resultado de que a sentença é verdadeira (é o contrário do que declara a sentença!).

Observe que uma sentença auto-referente viola o Princípio da Não-Contradição, pois a esta é atribuído simultaneamente os valores lógicos V e F.

Veja abaixo, em destaque, uma questão de prova.

Escriturário - BB - 2007 - UnB/CESPE

Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

1. "A frase dentro destas aspas é uma mentira."
2. A expressão X + Y é positiva.
3. O valor de √4 + 3 = 7.
4. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
5. O que é isto?

Resposta comentada

Vamos classificar cada uma das frases da questão acima:

1. A frase "A frase dentro destas aspas é uma mentira" é uma sentença auto-referente.
2. A segunda frase, "A expressão X + Y é positiva'', é uma senteça aberta, pois X e Y são variáveis.
3. É uma proposição a frase "O valor de √4 + 3 = 7", porquanto √4 + 3 = 5 ≠ 7.
4. A frase "Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira" também é uma proposição, dado que é possível saber o valor verdade desta proposição - em uma biografia, na internet etc.
5. A última frase, "O que é isto?", não é uma proposição porque é uma sentença interrogativa.

Logo, há apenas duas proposições, e o item está errado.

Assista o vídeo abaixo para saber mais um exemplo de sentença auto-referente.

O vídeo começa e Molly - a atriz - mostra um cartão com a seguinte frase:

A sentença no outro lado deste cartão é verdadeira.

Após alguns segundos, Molly vira o cartão, onde é possível ler:

A sentença no outro lado deste cartão é falsa.

Veja que a sentença no cartão faz referência ao valor lógico da sentença que está no outro lado do cartão, e vice versa. Se a primeira sentença é V, o que está escrito no outro lado do cartão é V. Porém, a segunda sentença afirma que a primeira é falsa. Há aqui uma violação  do Princípio da Não-Contradição, pois a primeira sentença seria, ao mesmo tempo, V e F. Logo, a primeira sentença não é uma proposição. De maneira análoga é possível chegar a conclusão de que a segunda sentença também não é uma proposição.