Que é conectivo

30 julho 2010 , |
PQ
PQ
Na primeira lição de lógica - Que é proposição - introduziu-se o conceito de proposição simples. A partir de proposições simples é possível formar proposições compostas, construídas com proposições simples e símbolos lógicos. Dentre os símbolos lógicos estão a negação, os condicionais e os conectivos.

Os conectivos ligam as proposições simples, formando proposições compostas.

Podemos definir uma proposição composta da seguinte maneira:

Uma proposição composta é formada por proposições simples e símbolos lógicos, e que pode somente ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F).

O valor lógico de uma proposição composta  depende de quais símbolos e proposições simples estão envolvidos na composição. Observe que as proposições compostas também respeitam o Princípio do Terceiro Excluído e o Princípio de Não-Contradição.

Conectivo "e"

Vamos usar um exemplo, representando a proposição "O céu está nublado" pela letra P, e outra proposição "Chove" pela letra Q. Cada uma dessas proposições pode ser V ou F. Ao todo existem quatro possibilidades para o par de proposições P e Q, conforme mostra a tabela abaixo.

P Q
V V
VF
FV
FF

Podemos estender essa tabela para mostrar a regra de valoração lógica do conectivo "e" na proposição composta

"O céu está nublado e chove",

representada por "P e Q". Veja na tabela-verdade abaixo qual é a regra do conectivo "e", que é representado pelo símbolo colocado entre as letras.

P Q P∧Q
V V V
VFF
FVF
FFF

Na terceira coluna da tabela-verdade acima estão os valores V ou F da proposição "O céu está nublado e chove". Apenas em um dia nublado e chuvoso, quando as proposições "O céu está nublado" e "Chove" são V, é que a proposição composta "O céu está nublado e chove" será V. Por outro lado, conforme mostram as duas últimas linhas, se "O céu está nublado" é F, não importa se o valor lógico de "Chove" é V ou F, pois a composta "O céu está nublado e chove" será F.

Em suma, a conjunção de duas proposições simples, P e Q, para formar uma proposição composta, lida como “P e ”, possui uma regra de valoração lógica bastante simples:

P∧Q é a conjunção de P e : tem valor lógico V somente quando P e Q forem V; nos demais casos, será F.

A dica acima é o que você precisa saber a respeito da regra do conectivo "e". Note ainda que PQ e QP têm a mesma tabela-verdade, o que significa que é permitida a comutação das proposições P e Q para o conectivo "e".

Antes de estudar os outros conectivos, leia a questão de prova em destaque.

Julgue o item abaixo.
A sentença "O Departamento Cultural do Itamaraty realiza eventos culturais e o Departamento de Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil" é uma proposição que pode ser simbolizada na forma A∧B).
Resposta comentada
Vamos representar a proposição "O Departamento Cultural do Itamaraty realiza eventos culturais" por A, e a proposição "o Departamento de Promoção Comercial estimula o fluxo de turistas para o Brasil" por B, de maneira que ¬B seja "o Departamento de Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil". Usando o símbolo lógico  para o conectivo "e", temos A∧B). Por essa razão, esse item está certo.

Observação: As bancas examinadoras nem sempre usam os mesmos símbolos lógicos. Para a conjunção ∧, algumas bancas podem usar o símbolo &, ou seja, "P & Q" é o mesmo que "P∧Q".

Conectivo "ou"

Para formar uma proposição composta lida como “P ou Q ”, a partir de duas proposições simples P e Q, usamos o conectivo "ou", cujo símbolo é . Veja abaixo a regra de atribuição de valores lógicos para esse conectivo.

P∨Q é a disjunção de P e : tem valor lógico F somente quando P e Q forem F; nos demais casos, será V.

Considere o exemplo:

"O céu está nublado ou é noite".

São quatro possibilidades:
  1. Somente em um dia que não está nublado e não é noite, quando "O céu está nublado" e "É noite" forem falsas, é que a proposição "O céu está nublado ou é noite" será F; 
  2. No dia em que o céu estiver nublado, caso em que "O céu está nublado" é V, "O céu está nublado ou é noite" será V, não importando o valor lógico de "É noite"; 
  3. Basta que a afirmação seja feita à noite, quando "É noite" é V, para que "O céu está nublado ou é noite" seja V;
  4. E ao se afirmar em uma noite com nuvens no céu, ambas "O céu está nublado" e "É noite" são V, de maneira que será verdadeira a proposição "O céu está nublado ou é noite".
Como você pôde observar na análise do exemplo anterior, o conectivo "ou" é inclusivo. Basta que pelo menos uma das proposições envolvidas na disjunção seja V para que a proposição composta seja V. Não há sentido de exclusão para esse conectivo. De maneira alternativa, podemos usar a regra:

PQ é a disjunção inclusiva de P e : tem valor lógico V quando pelo menos um dentre P e Q forem V; caso contrário, será F.

Todas as quatro possibilidade para o conectivo "ou" podem ser compactadas numa tabela-verdade, como a que está mostrada abaixo.

P Q PQ
V V V
VFV
FVV
FFF

Observe que apenas na última linha dessa tabela a proposição PQ é F. Mais ainda, observe que PQ e QP têm a mesma tabela-verdade, i.e., o conectivo "ou" tem a propriedade de comutação.

Conectivo "Ou ... ou ..."

Quando discutimos o conectivo "ou", mencionamos que esse era inclusivo. Todavia, há proposições com nítido valor de exclusão, como em "Ou P ou Q", cujo símbolo é ⊻. A proposição que usa o conectivo "ou .. ou ..." é chamada de disjunção exclusiva, e obedece a seguinte regra:

PQ é a disjunção exclusiva de P e : tem valor lógico V somente quando exatamente um dentre P e Q forem V; nos demais casos, será F.

Para fortalecer a idéia de exclusão, vamos analisar a proposição abaixo

"Ou o céu está nublado ou é noite".

Caso essa afirmação seja feita em uma manhã de céu nublado, isto é, "O céu está nublado" é V e "É noite" é F, a proposição "Ou o céu está nublado ou é noite" será V. E essa proposição também será V quando for dita em uma noite de céu sem nuvens - "O céu está nublado" é F e "É noite" é V.

Se a afirmação for feita em uma noite com céu nublado, "Ou o céu está nublado ou é noite" será F, pois "É noite" e "O céu está nublado" serão V. E em uma tarde com ausência de nuvens no céu, em que "É noite" e "O céu está nublado" serão F, a disjunção exclusiva "Ou o céu está nublado ou é noite" será F.

Veja abaixo a tabela-verdade que esgota todas as possibilidades do conectivo "ou ... ou ...".

P Q PQ
V V F
VFV
FVV
FFF

Você pode verificar que nada obsta comutar P e Q em uma disjunção exclusiva, ou seja, PQ tem os mesmos valores lógicos que QP.

Um comentário:

Diogo Henrique Custódio disse...

parabéns vc conseguiu explicar algo que em varias aulas eu não tinha conseguido entender vlw pela força..

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