P ∧ Q
P ∨ Q
P ∨ Q
Na primeira lição de lógica - Que é proposição - introduziu-se o conceito de proposição simples. A partir de proposições simples é possível formar proposições compostas, construídas com proposições simples e símbolos lógicos. Dentre os símbolos lógicos estão a negação, os condicionais e os conectivos.
Os conectivos ligam as proposições simples, formando proposições compostas.
Podemos definir uma proposição composta da seguinte maneira:
Uma proposição composta é formada por proposições simples e símbolos lógicos, e que pode somente ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F).
O valor lógico de uma proposição composta depende de quais símbolos e proposições simples estão envolvidos na composição. Observe que as proposições compostas também respeitam o Princípio do Terceiro Excluído e o Princípio de Não-Contradição.
Conectivo "e"
Vamos usar um exemplo, representando a proposição "O céu está nublado" pela letra P, e outra proposição "Chove" pela letra Q. Cada uma dessas proposições pode ser V ou F. Ao todo existem quatro possibilidades para o par de proposições P e Q, conforme mostra a tabela abaixo.P | Q |
V | V |
V | F |
F | V |
F | F |
Podemos estender essa tabela para mostrar a regra de valoração lógica do conectivo "e" na proposição composta
representada por "P e Q". Veja na tabela-verdade abaixo qual é a regra do conectivo "e", que é representado pelo símbolo ∧ colocado entre as letras.
"O céu está nublado e chove",
representada por "P e Q". Veja na tabela-verdade abaixo qual é a regra do conectivo "e", que é representado pelo símbolo ∧ colocado entre as letras.
P | Q | P∧Q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
Na terceira coluna da tabela-verdade acima estão os valores V ou F da proposição "O céu está nublado e chove". Apenas em um dia nublado e chuvoso, quando as proposições "O céu está nublado" e "Chove" são V, é que a proposição composta "O céu está nublado e chove" será V. Por outro lado, conforme mostram as duas últimas linhas, se "O céu está nublado" é F, não importa se o valor lógico de "Chove" é V ou F, pois a composta "O céu está nublado e chove" será F.
Em suma, a conjunção de duas proposições simples, P e Q, para formar uma proposição composta, lida como “P e Q ”, possui uma regra de valoração lógica bastante simples:
Em suma, a conjunção de duas proposições simples, P e Q, para formar uma proposição composta, lida como “P e Q ”, possui uma regra de valoração lógica bastante simples:
P∧Q é a conjunção de P e Q : tem valor lógico V somente quando P e Q forem V; nos demais casos, será F.
A dica acima é o que você precisa saber a respeito da regra do conectivo "e". Note ainda que P∧Q e Q∧P têm a mesma tabela-verdade, o que significa que é permitida a comutação das proposições P e Q para o conectivo "e".
Antes de estudar os outros conectivos, leia a questão de prova em destaque.
Julgue o item abaixo.
A sentença "O Departamento Cultural do Itamaraty realiza eventos culturais e o Departamento de Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil" é uma proposição que pode ser simbolizada na forma A∧(¬B).
A sentença "O Departamento Cultural do Itamaraty realiza eventos culturais e o Departamento de Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil" é uma proposição que pode ser simbolizada na forma A∧(¬B).
Resposta comentada
Vamos representar a proposição "O Departamento Cultural do Itamaraty realiza eventos culturais" por A, e a proposição "o Departamento de Promoção Comercial estimula o fluxo de turistas para o Brasil" por B, de maneira que ¬B seja "o Departamento de Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil". Usando o símbolo lógico ∧ para o conectivo "e", temos A∧(¬B). Por essa razão, esse item está certo.Observação: As bancas examinadoras nem sempre usam os mesmos símbolos lógicos. Para a conjunção ∧, algumas bancas podem usar o símbolo &, ou seja, "P & Q" é o mesmo que "P∧Q".
Conectivo "ou"
Para formar uma proposição composta lida como “P ou Q ”, a partir de duas proposições simples P e Q, usamos o conectivo "ou", cujo símbolo é ∨. Veja abaixo a regra de atribuição de valores lógicos para esse conectivo.P∨Q é a disjunção de P e Q : tem valor lógico F somente quando P e Q forem F; nos demais casos, será V.
Considere o exemplo:
"O céu está nublado ou é noite".
São quatro possibilidades:
- Somente em um dia que não está nublado e não é noite, quando "O céu está nublado" e "É noite" forem falsas, é que a proposição "O céu está nublado ou é noite" será F;
- No dia em que o céu estiver nublado, caso em que "O céu está nublado" é V, "O céu está nublado ou é noite" será V, não importando o valor lógico de "É noite";
- Basta que a afirmação seja feita à noite, quando "É noite" é V, para que "O céu está nublado ou é noite" seja V;
- E ao se afirmar em uma noite com nuvens no céu, ambas "O céu está nublado" e "É noite" são V, de maneira que será verdadeira a proposição "O céu está nublado ou é noite".
P∨Q é a disjunção inclusiva de P e Q : tem valor lógico V quando pelo menos um dentre P e Q forem V; caso contrário, será F.
Todas as quatro possibilidade para o conectivo "ou" podem ser compactadas numa tabela-verdade, como a que está mostrada abaixo.
P | Q | P∨Q |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Observe que apenas na última linha dessa tabela a proposição P∨Q é F. Mais ainda, observe que P∨Q e Q∨P têm a mesma tabela-verdade, i.e., o conectivo "ou" tem a propriedade de comutação.
Conectivo "Ou ... ou ..."
Quando discutimos o conectivo "ou", mencionamos que esse era inclusivo. Todavia, há proposições com nítido valor de exclusão, como em "Ou P ou Q", cujo símbolo é ⊻. A proposição que usa o conectivo "ou .. ou ..." é chamada de disjunção exclusiva, e obedece a seguinte regra:P⊻Q é a disjunção exclusiva de P e Q : tem valor lógico V somente quando exatamente um dentre P e Q forem V; nos demais casos, será F.
Para fortalecer a idéia de exclusão, vamos analisar a proposição abaixo
"Ou o céu está nublado ou é noite".
Caso essa afirmação seja feita em uma manhã de céu nublado, isto é, "O céu está nublado" é V e "É noite" é F, a proposição "Ou o céu está nublado ou é noite" será V. E essa proposição também será V quando for dita em uma noite de céu sem nuvens - "O céu está nublado" é F e "É noite" é V.
Se a afirmação for feita em uma noite com céu nublado, "Ou o céu está nublado ou é noite" será F, pois "É noite" e "O céu está nublado" serão V. E em uma tarde com ausência de nuvens no céu, em que "É noite" e "O céu está nublado" serão F, a disjunção exclusiva "Ou o céu está nublado ou é noite" será F.
Veja abaixo a tabela-verdade que esgota todas as possibilidades do conectivo "ou ... ou ...".
P | Q | P⊻Q |
V | V | F |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
Você pode verificar que nada obsta comutar P e Q em uma disjunção exclusiva, ou seja, P⊻Q tem os mesmos valores lógicos que Q⊻P.
4 comentários:
parabéns vc conseguiu explicar algo que em varias aulas eu não tinha conseguido entender vlw pela força..
Estou amando o blog.Parabens
Parabéns galera. Embora simples, uma explicação muito profunda. Abriram minha mente. Deus abençoe.
Obrigado pela clareza
Postar um comentário